درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی کلاس نهم
درس 2: شیب خط و عرض از مبدأ
فعالیت (صفحهٔ 102 کتاب درسی)
1- خطهای به معادلههای زیر را در یک دستگاه محور مختصات رسم کنید؛ هرخط را با یک رنگ بکشید.
$y=-2x$ (ه $y=-x$ (د $y=3x$ (ج $y=x$ (ب $y=\frac{1}{2}x$ (الف
| 1 | 0 | x |
| $\frac{1}{2}$ | 0 | $y=\frac{1}{2}x$ |
| 1 | 0 | $y=x$ |
| 3 | 0 | $y=3x$ |
| 1- | 0 | $y=-x$ |
| 2- | 0 | $y=-2x$ |
تمام این خطها از مبدأ مختصات میگذرند؛ تفاوت آنها در چیست؟ زاویهٔ هر خط را مانند نمونه با قسمت مثبت محور طولها مشخص کنید. در خطهای الف، ب و ج چه رابطهای بین ضریب x و این زاویه وجود دارد؟
زاویۀ برخورد خطها با محور طولها با یکدیگر فرق دارد. مثلاً زاویۀ خط (الف) کم و زاویۀ خط (ج) بیشتر است. هر چه ضریب x بیشتر باشد، زاویه نیز بزرگتر شده است. در این خطها با افزایش مقدار x، مقدار y نیز افزایش مییابد.
خطهای د و ه چه نوع زاویهای با جهت مثبت محور xها میسازد؟
در این خطها ضریب x منفی شده است و زاویۀ این خطها با جهت مثبت محور xها، به زاویه باز تبدیل شده است. یعنی از 90 درجه بیشتر شده است. دقت کنید در این خطها با افزایش مقدار x، مقدار y کاهش مییابد.
2- خطهای به معادلههای زیر را در یک دستگاه مختصات رسم کنید؛ هر خط را با یک رنگ بکشید.
$y=2x-1\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix},\quad y=2x\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix},\quad y=2x+3$
در معادلهٔ این خطها ضریب x برابر با 2 است که به آن شیب خط میگوییم. تفاوت خطها در چیست؟ زاویهٔ خطها را با محور xها با هم مقایسه کنید؛ چرا این خطها با هم موازیاند؟
محل برخورد خطها با محور عرضها با هم فرق دارد. زاویۀ آنها با محور xها با هم برابر است. خط مورب (محور xها) با هر سه خط، زاویۀ یکسانی ساخته است، پس سه خط با یکدیگر موازی هستند. هر گاه شیب خطها با هم برابر باشد، با هم موازی هستند.
بین محل برخورد خط با محور عرضها و عدد ثابت معادله چه رابطهای میبینید؟
محل برخورد خطها با محور عرضها برابر با عدد ثابت در معادله است.
| عرض از مبدأ | شیب | 1 | 0 | x |
| 1- | 2 | 1 | 1- | $y=2x-1$ |
| 0 | 2 | 2 | 0 | $y=2x$ |
| 3 | 2 | 5 | 3 | $y=2x+3$ |
به عنوان مثال در خط به معادلهٔ $y=-3x+2$، عرض از مبدأ 2 و شیب خط، 3- است.
کار در کلاس (صفحهٔ 103 کتاب درسی)
1- در هر یک از معادلههای زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید.
$y=2x-4$
شیب: 2 عرض از مبدأ: 4-
$y=-\frac{2}{3}x$
شیب: $-\frac{2}{3}$ عرض از مبدأ: 0
$y=-3x+1$
شیب: 3- عرض از مبدأ: 1
2- معادلهٔ خطی را بنویسید که:
الف) شیب آن 1- و عرض از مبدأ آن 1- باشد. $y=-2x-1$
ب) شیب آن $\frac{1}{2}$ باشد و محور عرضها را در نقطهای به عرض 3 قطع کند. $y=\frac{1}{2}x+3$
ج) با خط $y=2x+1$ موازی باشد و از نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}0 \\4 \\\end{matrix} \right]$ بگذرد.
شیب آن برابر شیب خط $y=2x+1$ است. پس شیب برابر 2 است و عرض از مبدأ آن برابر 4 است زیرا وقتی از نقطۀ $\left[ \begin{matrix}0 \\4 \\\end{matrix} \right]$ میگذرد، پس محور عرضها را در نقطۀ 4 قطع کرده است. پس معادلۀ خط به صورت $y=2x+4$ خواهد بود.
3- معادلهٔ خطی را بنویسید که شیب آن 2 باشد و از نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}1 \\2 \\\end{matrix} \right]$ بگذرد.
چون $0=b$ است پس عرض از مبدأ خط برابر صفر است و تنها با داشتن شیب خط، معادلۀ آن به دست میآید.
فعالیت (صفحهٔ 103 کتاب درسی)
1- در تصویر زیر، سه نوع راه پله میبینید؛ در هر سه مورد ارتفاعی که بالا میروید، یکسان است.
کدام راه پله شیب بیشتری دارد؟ راه پلهٔ (الف)
کدام یک، تعداد پله، بیشتری دارد؟ راه پلهٔ (ج)
بالا رفتن از کدام یک سادهتر است؟ راه پلهٔ (ج)
بالا رفتن از شیبهای کمتر راحتتر است.
2- در محورهای مختصات مقابل، کدام خط شیب بیشتری دارد؟
شیب خط A بیشتر است چون زاویه بزرگتری با جهت مثبت محور طول دارد.
نقطههای A و B طول ثابتی دارند ولی عرض آنها متفاوت است. کدام یک از دو نسبت زیر بزرگتر است؟ چرا؟
مخرج کسرها برابر است و در صورت عرض نقطۀ A یعنی AH بزرگتر از عرض نقطۀ B یعنی BH است.
$\frac{AH}{OH} \gt \frac{BH}{OH}$
این دو نسبت چه ارتباطی با شیب خطها دارد؟
این نسبتها برابر با شیب خط هستند. زاویۀ نقطۀ A با جهت مثبت محور طولها بزرگتر است و همچنین نسبت $\frac{AH}{OH}$ نیز از نسبت $\frac{BH}{OH}$ بزرگتر است. معادلۀ دو خط A و B به صورت زیر است:
خط A: $y=\frac{AH}{OH}x$
خط B: $y=\frac{BH}{OH}x$
3- روی خط ${{d}_{1}}$ به معادلهٔ $y=2x-1$ دو نقطهٔ دلخواه مثل A و B درنظر گرفتهایم. با توجه به مثلث قائم الزاویهٔ ایجاد شده، شیب خط را به دست آوردهایم.
$=\frac{EB}{EA}=\frac{2}{1}=2$ شیب خط ${{d}_{1}}$
برای دو نقطهٔ C و D نیز با توجه به مثلث رسم شده، شیب خط را پیدا کنید.
$=\frac{FD}{FC}=\frac{4}{2}=2$ شیب خط ${{d}_{1}}$
دو نقطهٔ دلخواه دیگر روی خط در نظر بگیرید و با رسم یک مثلث قائم الزاویه شیب خط را دوباره پیدا کنید.
نقطۀ A و D را در نظر بگیرید:
$=\frac{MD}{MC}=\frac{8}{4}=2$ شیب خط ${{d}_{1}}$
نقطۀ G و H را در نظر بگیرید:
$=\frac{NG}{NH}=\frac{6}{3}=2$ شیب خط ${{d}_{1}}$
بنابراین با هر دو نقطۀ دلخواه به شیب برابر 2 خواهیم رسید. همان زاویۀ بین خط و محور طولها شیب خط را ساخته است.
4- خط ${{d}_{2}}$ با محور طول، زاویهٔ بزرگتر از ${{90}^{\circ }}$ میسازد؛ پس شیب خط، منفی میشود. با توجه به مثلثهای رسم شده مقدار شیب خط ${{d}_{2}}$ را پیدا کنید.
$-\frac{FD}{FC}=-\frac{6}{2}=-3$ یا $-\frac{3}{1}=-3$$=-\frac{EB}{EA}=$ شیب خط ${{d}_{2}}$
خط ${{d}_{2}}$ محور عرضها را در نقطۀ $\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]$ قطع کرده است یا عرض از مبدأ آن ١ است. معادله خط${{d}_{2}}$ را بنویسید.
$y=\underbrace{-3}_{{}}x\quad \quad +\quad \quad \underbrace{\ 1\ }_{{}}$
عرض از مبدأ شیب
5- با توجه به این بیان از شیب خط، در زیر مراحل رسم معادلهٔ خط $y=2x-1$ با روش دیگری مشخص شده است؛ این روش را توضیح دهید.
|
|
|
اگر یک نقطه از خط و شیب آن معلوم باشد، با روش زیر میتوان خط را رسم کرد.
1- ابتدا آن نقطه را روی محور مختصات پیدا کنید. مانند نقطۀ به طول صفر و عرض 1- در شکل (1)
2- نقطۀ دیگری در صفحۀ مختصات انتخاب کنید به طوری که این نقطه و نقطۀ قبلی با هم شیب مورد نظر را بسازند. برای مثال اگر شیب برابر 2 باشد، کافیست از نقطۀ اول به اندازۀ 1 واحد در طول و 2 واحد در محور عرض حرکت کنید و نقطۀ دوم را بیابید. مانند شکل (2)
3- دو نقطه را با یک خط به هم وصل کنید و از دو طرف ادامه دهید. مانند شکل (3)
فعالیت (صفحهٔ 105 کتاب درسی)
1- نقطههای $\left[ \begin{matrix}2 \\0 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}2 \\-1 \\\end{matrix} \right]$ را در دستگاه مختصات نشان دهید و خطی را رسم کنید که از این دو نقطه میگذرد.
روی خط، دو نقطه انتخاب کنید و مختصات آنها را بنویسید. $\left[ \begin{matrix}2 \\4 \\\end{matrix} \right]$ , $\left[ \begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix} \right]$
اگر نقطهٔ دیگری روی این خط در نظر بگیریم، طول آن برابر است با: 2
یک نقطهٔ دلخواه به طول 2 بنویسید و روی محور مختصات نشان دهید: $\left[ \begin{matrix}2 \\1/5 \\\end{matrix} \right]$
تمام نقطهها به طول 2 روی خط بالا قرار میگیرند و معادلهٔ آنها به صورت $x=2$ است.
2- صورت کلی معادلههای خطی به صورت $ax+by=c$ است.
الف) با توجه به مقدارهای نوشته شده، معادلهٔ خط را بنویسید؛ کدام خط از مبدأ میگذرد؟
$2x+3y=4$$a=2\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}\,b=3\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}c=4\to $
$-x+2y=0$$a=-1\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}\,b=2\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}c=0\to $
خط $-x+2y=0$ از مبدأ میگذرد. زیرا نقطۀ $\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]$ روی آن قرار دارد. این خط را میتوان به صورت $y=\tfrac{1}{2}x$ نیز نوشت.
ب) با توجه به خطهای داده شده، مقدارهای a، b و c را پیدا کنید.
معادله دوم را میتوان به فرم کلی $-2x+y=1$ نوشت.
$\begin{matrix}
-3x+2y=2\to & a= \\
y=2x+1\to & a= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
-3 & b= \\
-2 & b= \\
\end{matrix}\begin{matrix}
2 & c=2 \\
1 & c=1 \\
\end{matrix}$
ج) برای خط $x=2$ مقدارهای b ،a و c را بنویسید.
این خط موازی با محور عرضها است و همۀ نقاط روی آن دارای طول ثابتی هستند. در فرم کلی معادلۀ این خطوط ضریب b برابر صفر است.
3- مختصات نقطههای مشخص شده را روی خط بنویسید.
$\left[ \begin{matrix}
2 \\
-1 \\
\end{matrix} \right]$$D=$$\left[ \begin{matrix}
1 \\
-1 \\
\end{matrix} \right]$$C=$$\left[ \begin{matrix}
-2 \\
-1 \\
\end{matrix} \right]$$B=$$\left[ \begin{matrix}
-3 \\
-1 \\
\end{matrix} \right]$$A=$
این نقطهها چه ویژگی مشترکی دارند؟ همۀ نقاط دارای عرض یکسانی (برابر 1-) هستند.
معادلهٔ خط رسم شده را بنویسید. $y=-1$
در شکل کلی معادلههای خطی به جای b ،a و c چه عددهایی قرار دهیم تا معادلهٔ خطِ رسم شده به دست آید؟
این خط موازی با محور طولها است و همۀ نقاط روی آن دارای عرض ثابتی هستند. در فرم کلی معادلۀ این خطوط ضریب a برابر صفر است.
4- مانند نمونه برای خطهای داده شده شیب و عرض از مبدأ را پیدا کنید.
شیب: $2$ عرض از مبدأ: $4$
$2y-4x=8\to 2y=4x+8\to y=\frac{4}{2}x+\frac{8}{2}\to y=2x+4$
شیب: $\frac{3}{2}$ عرض از مبدأ: $-3$
$3x-2y=6\to -2y=-3x+6\to y=\frac{3}{2}x-3$
شیب: $-\frac{1}{3}$ عرض از مبدأ: $3$
$x+3y-9=0\to 3y=-x+9\to y=-\frac{1}{3}x+3$
کار در کلاس (صفحهٔ 106 کتاب درسی)
1- معادلههای خطهای رسم شده را در دستگاه مختصات مقابل کنار هر کدام بنویسید.
2- از برخورد دو خط $y=-3$ و $x=2$ کدام نقطه به دست میآید؟ $\left[ \begin{matrix}2 \\-3 \\\end{matrix} \right]$
3- معادلهای خطی بنویسید که موازی محور xها باشد و از نقطه $\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]$ بگذرد.
چون موازی محور xهاست به فرم $y=c$ است و چون از نقطۀ به عرض 1 میگذرد، پس $y=1$
تمرین (صفحهٔ 106 کتاب درسی)
1- خطهای به معادلهٔ $y=3$ و $x=-2$ را رسم و مختصات محل برخورد آنها را پیدا کنید. زاویهٔ بین این دو خط چند درجه است؟
مختصات محل برخورد: $\left[ \begin{matrix}-2 \\3 \\\end{matrix} \right]$
زاویۀ بین دو خط: 90 درجه
2- معادلهٔ محور طولها و محور عرضها را بنویسید؛ محل برخورد آنها چه نقطهای است؟
معادلۀ محور طولها: $y=0$
معادلۀ محور عرضها: $x=0$
محل برخورد دو محور: $\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]$
3- شیب و عرض از مبدأ خطهای زیر را پیدا و سپس آن خطها را رسم کنید.
$3y-2x=6$
$3y=2x+6\to y=\frac{2}{3}x+2$
شیب: $\frac{2}{3}$ و عرض از مبدأ: $2$
$4x-2y=8$
$-2y=-4x+8\to y=2x-4$
شیب: 2 و عرض از مبدأ: $-4$
$2x-y=3$
$-y=-2x+3\to y=2x-3$
شیب: $2$ و عرض از مبدأ: $-3$
4- خط $y=ax+b$ را در نظر بگیرید. در هر یک از حالتهای مورد نظر، خط را مانند نمونه در دستگاه مختصات رسم کنید.
$b \lt 0$ |
$b \gt 0$ |
$b \lt 0$ |
$b \gt 0$ |
5- معادلهٔ خطهای زیر را بنویسید.
$y=-2x+1$
شیب: $-\frac{2}{1}=2$ و عرض از مبدأ: $1$
$y=x-1$
شیب: $\frac{3}{3}=1$ و عرض از مبدأ: $-1$
$y=2x-2$
شیب: $\frac{4}{2}=2$ و عرض از مبدأ: $-2$
6- معادله خطی بنویسید که با خط $2y-4x=5$ موازی باشد و از نقطه $\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]$ بگذرد.
$2y=4x+5\to y=2x+2/5$
بنابراین شیب خط برابر است با 2. پس فرم معادلۀ خطی موازی با آن به صورت $y=2x+b$ است. از طرفی این خط باید از نقطۀ $\left[ \begin{matrix}1 \\-1 \\\end{matrix} \right]$ نیز بگذرد. پس طول و عرض این نقطه را در معادله جایگزین میکنیم تا مقدار b به دست آید.
$\begin{align}
& y=2x+b\xrightarrow[y=-1]{x=1}-1=2\times 1+b\Rightarrow b=-3 \\
& \Rightarrow y=2x-3 \\
\end{align}$
7- با توجه به شکل مقابل نشان دهید.
$=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{1}}}$ شیب خط
این خط از دو نقطۀ A و B عبور میکند. پس برای محاسبۀ شیب خط با استفاده از این دو نقطه، مثلث قائم الزاویه مطابق شکل تشکیل میگردد. شیب خط برابر نسبت ارتفاع مثلث به قاعدۀ آن است که در آن ارتفاع برابر ${{y}_{2}}-{{y}_{1}}$ و قاعده برابر ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}$ است.
معادلۀ کلی این خط به صورت زیر است:
$y-{{y}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}(x-{{x}_{1}})$
8- $\left[ \begin{matrix}3 \\2 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}4 \\-1 \\\end{matrix} \right]$ دو نقطه از یک خط هستند؛ شیب خط را پیدا کنید و معادلهٔ خط را بنویسید.
شیب خط برابر است با؛
$\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{2-(-1)}{3-4}=\frac{3}{-1}=-3$
پس فرم معادلۀ خطی که از این نقاط بگذرد به صورت $y=-3x+b$ است. با جایگزین کردن یکی از این نقاط مانند $\left[ \begin{matrix}3 \\2 \\\end{matrix} \right]$ در معادله مقدار b به دست آید.
$\begin{align}
& y=-3x+b\xrightarrow[y=2]{x=3}2=-3\times 3+b\Rightarrow b=11 \\
& \Rightarrow y=-3x+11 \\
\end{align}$